La domanda si riferisce evidentemente a tutto l’intervallo di definizione di una funzione compreso i suoi estremi e per funzioni non derivabili in ogni punto dell’intervallo di definizione.
Infatti per i punti interni all’intervallo e per funzioni derivabili la condizione D(f(x))=0 è condizione necessaria anche se non sufficiente. Infatti la funzione potrebbe avere nel punto considerato un punto di flesso orizzontale. In tal caso la derivata si annulla ma non cambia segno riprendendo a crescere (o a decrescere) una volta superato il punto di flesso.B
isogna quindi aggiungere altre condizioni, quali la diversità da 0 della prima derivata di ordine pari per assicurarsi che nel punto vi sia un massimo (o un minimo).
Notiamo ora cosa può avvenire agli estremi dell’intervallo di definizione e nei punti interni dove non esiste la derivata.
Agli estremi la derivata può essere diversa da 0 ma la funzione stessa può assumere o valori massimi o minimi (relativi o assoluti) per esempio segmento di retta definita in un intervallo non ha mai derivata nulla ma possiede minimo e massimo negli estremi.
Analogamente se una funzione non ha derivata in un punto può assumere in tale punto un massimo (minimo) assoluto o relativo. Ad esempio, si può pensare ad un punto angoloso all’interno dell’intervallo.
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